Elemente de algebra liniara.pdf

192 Elemente de algebră liniară
La fel ca mai sus se arată că ¸sirul w0, w1, w2, ... cont¸ine un număr finit de termeni
nenuli, că există wm = 0 cu wm+1 = A−wm = 0. Deoarece
¸si în general
subspat¸iul
A+w1 = A+(A−w0) = (A+A−)w0 = ([A+, A−] + A−A+)w0
= 2 A3w0 = (2λ + 2l)w0
A+w2 = A+(A−w1) = (A+A−)w1 = ([A+, A−] + A−A+)w1
= (2 A3 + A−A+)w1 = 2(λ + l − 1)w1 + (2λ + 2l)A−w0
= 2(2λ + 2l − 1)w1
A+w3 = A+(A−w2) = (A+A−)w2 = ([A+, A−] + A−A+)w2
= (2 A3 + A−A+)w2 = 2(λ + l − 2)w2 + 2(2λ + 2l − 1)A−w1
= 3(2λ + 2l − 2)w2
A+wk = k(2λ + 2l − k)wk−1
W = 〈w0, w1, ... , wm〉
generat de vectorii liniar independent¸i w0, w1, ... , wm este invariant fat¸ă de act¸iunea
operatorilor A3, A+ ¸si A−. Reprezentarea ϱ fiind ireductibilă trebuie ca W = V ¸si
deci n = m + 1. Matricea operatorului A3 în raport cu baza {w0, w1, ... , wm} este
matricea diagonală
⎛
⎜
⎝
λ + l 0 · · · 0 0
0 λ + l − 1 · · · 0 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · λ + l − m + 1 0
0 0 · · · 0 λ + l − m
Pe de altă parte din relat¸ia [A+, A−] = 2 A3 rezultă că
Deducem că
⎞
⎟ .
⎟
⎠
trA3 = 1
2 tr([A+, A−]) = 1
2 (tr(A+, A−) − tr(A−A+)) = 0.
(λ + l) + (λ + l − 1) + · · · (λ + l − m) = 0