Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Aplicat¸ii liniare 83<br />
Este suficient să arătăm că {v1, v2, w1, w2, w3} este bază în V . Fie<br />
Aplicând A obt¸inem<br />
α1v1 + α2v2 + α3w1 + α4w2 + α5w3 = 0. (3.7)<br />
λ1(α1v1 + α2v2) + λ2(α3w1 + α4w2 + α5w3) = 0.<br />
Adunând această relat¸ie cu relat¸ia (3.7) înmult¸ită cu (−λ2) obt¸inem<br />
(λ1 − λ2)(α1v1 + α2v2) = 0<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> α1 = α2 = 0. Înlocuind în (3.7) rezultă α3 = α4 = α5 = 0.<br />
Observat¸ia 3.20 Orice matrice<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11<br />
a21<br />
· · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×n(K)<br />
⎟<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
este matricea în raport cu baza canonică<br />
B = {e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... , en = (0, 0, ..., 0, 1)}<br />
a operatorului liniar<br />
A : K n −→ K n ,<br />
⎛<br />
x1<br />
⎜ x2<br />
⎜<br />
A ⎜ .<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ = ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
a11<br />
a21<br />
.<br />
a12<br />
a22<br />
.<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
.<br />
a1n<br />
a2n<br />
.<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
x1<br />
x2<br />
.<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
xn<br />
an1 an2 · · · ann<br />
Definit¸ia 3.39 Prin valoare proprie a unei matrice (respectiv vector propriu<br />
al unei matrice) A ∈ Mn×n(K) se înt¸elege o valoare proprie (respectiv vector<br />
propriu) al operatorului liniar asociat A : K n −→ K n .<br />
Definit¸ia 3.40 Spunem că matricea A ∈ Mn×n(K) este diagonalizabilă dacă op-<br />
eratorului liniar asociat A : K n −→ K n este diagonalizabil.<br />
xn
Change language