Elemente de algebra liniara.pdf

58 Elemente de algebră liniară
rezultă că dim V =dim W . Invers, dacă dim V =dim W = n alegând o bază {v1, v2, ..., vn}
în V ¸si o bază {w1, w2, ..., wn} în W putem defini izomorfismul liniar
A : V −→ W, A(α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn) = α1w1 + α2w2 + · · · + αnwn.
Teorema 3.10 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste K atunci orice bază B =
{v1, v2, ..., vn} a lui V (cu ordinea vectorilor fixată) define¸ste izomorfismul
A : V −→ K n , A(α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn) = (α1, α2, · · · , αn)
care permite identificarea lui V cu K n .
Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A este liniară, Ker A = {0} ¸si Im A = K n .
Exercit¸iul 3.10 Să se arate că aplicat¸ia
este un izomorfism liniar.
A : R 4 −→ M2×2(R), A(x1, x2, x3, x4) =
x1 x2
x3 x4
Exercit¸iul 3.11 Să se arate că spat¸iile vectoriale reale C ¸si R 2 sunt izomorfe.
Indicat¸ie. Aplicat¸ia A : C −→ R 2 , A(x + yi) = (x, y) este un izomorfism liniar.
3.4 Dualul unui spat¸iu vectorial
Propozit¸ia 3.11 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste corpul K atunci
V ∗ = { ϕ : V −→ K | ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K }
înzestrat cu operat¸iile de adunare
V ∗ × V ∗ −→ V ∗ : (ϕ, ψ) ↦→ ϕ + ψ unde
ϕ + ψ : V −→ K
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)