Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Spat¸ii vectoriale 29<br />
Exercit¸iul 2.14 Să se arate că în R 3 avem<br />
span{(1, 2, 3), (−1, 1, 0)} = span{(1, 2, 3), (−1, 1, 0), (0, 3, 3)}.<br />
Indicat¸ie. Avem (0, 3, 3) = (1, 2, 3) + (−1, 1, 0).<br />
Propozit¸ia 2.8 Dacă {v1, v2, ..., vn} este un sistem <strong>de</strong> generatori pentru V astfel<br />
încât există k ∈ {1, 2, ..., n} cu<br />
vk = <br />
i=k<br />
λi vi<br />
atunci {v1, v2, ..., vn}\{vk} este sistem <strong>de</strong> generatori pentru V .<br />
Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V este o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> v1, v2, ..., vn. Dar<br />
n<br />
x = αi vi =⇒ x =<br />
i=1<br />
<br />
<br />
αi vi + αk λi vi =<br />
i=k<br />
i=k<br />
<br />
(αi + αkλi)vi.<br />
i=k<br />
Definit¸ia 2.9 Spunem că spat¸iul vectorial V este finit generat dacă admite un<br />
sistem <strong>de</strong> generatori finit.<br />
Convent¸ie. Dacă nu se ment¸ionează contrariul, spat¸iile vectoriale consi<strong>de</strong>rate în<br />
continuare vor fi presupuse finit generate.<br />
2.4 Depen<strong>de</strong>nt¸ă ¸si in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ă liniară<br />
Propozit¸ia 2.10 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si v1, v2, ..., vn vectori apart¸inând<br />
lui V . Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:<br />
a) Nici unul dintre vectorii v1, v2, ..., vn nu se poate scrie ca o combinat¸ie liniară<br />
<strong>de</strong> ceilalt¸i vectori<br />
b) relat¸ia<br />
este posibilă numai dacă<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0<br />
α1 = α2 = · · · = αn = 0
Change language