Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale euclidiene 107
Demonstrat¸ie. Utilizăm metoda induct¸iei matematice. Afirmat¸ia este, evident,
adevărată în cazul dim V = 1. Presupunând că afirmat¸ia este este adevarată în
cazul spat¸iilor de dimensiune n − 1 aratăm că ea este adevărată ¸si pentru spat¸iile
de dimensiune n. Fie V un spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si A : V −→ V o
transformare unitară. Fie λ1 ∈ C o valoare proprie ¸si v1 = 0 un vector propriu
corespunzător
Vectorul unitar e1 = v1
||v1||
Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1
Av1 = λ1 v1.
este ¸si el vector propriu corespunzător valorii proprii λ1
v1
Ae1 = A =
||v1||
1
||v1|| Av1 = λ1e1.
W = {e1} ⊥ = { x ∈ V | 〈x, e1〉 = 0 }
este un spat¸iu vectorial de dimensiune n − 1 ¸si span{e1} ⊕ W = V . El este un
subspat¸iu invariant al lui A
x ∈ W =⇒ 〈Ax, e1〉 = λ1〈Ax, λ1e1〉=λ1〈Ax, Ae1〉=λ1〈x, e1〉=0 =⇒ Ax ∈ W.
Relat¸ia
〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉
fiind verificată oricare ar fi x, y ∈ V rezultă ca restrict¸ia lui A la W
verifică relat¸ia
A|W : W −→ W
〈A|W x, A|W y〉 = 〈x, y〉
oricare ar fi x, y ∈ W , adică este transformare unitară. Conform ipotezei de induct¸ie
exista o bază ortonormată {e2, e3, ..., en} a lui W în raport cu care matricea lui A|W
este diagonală
⎛
⎜
A|W = ⎜
⎝
λ2
0
· · ·
0
λ3
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
⎞
0
0
⎟
· · · ⎠
0 0 · · · λn