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− 105 −Der „Horror Vacui“Was die Anzahl von Quanten betrifft, so ist der Valenzteil einesTeilchens seinem Nicht-Valenzteil gegenüber vernachlässigbar winzig.Der Nicht-Valenzteil baut sich aus Quantenpaaren auf, derenadditive „interne“ Quantenzahlen sich in solch einem Paar jeweilskomplett absättigen. Der Nicht-Valenzteil, für sich allein betrachtet,bildet eine Komponente einer endlich-dimensionalen Darstellung, die„intern“ neutral ist.Das heikle Problem bei einer endlich-dimensionalen Darstellungtaucht auf, wenn wir von ihrer unitären Grundgestalt zu einer ihrerpseudo-unitären Varianten übergehen. Schauen wir uns dies aneinem 2-dimensionalen Beispiel an.Bei Anwendung der Pauli-Matrix σ 1 auf einen U(2)-Spinor vertauschtdiese seine beiden Komponenten:σ 1 ψ ψ + = ψ+ψ .Da die linearen Quantenzahlen beider Komponenten gerade entgegengesetzteVorzeichen zueinander tragen, könnte ein unbedarfterTheoretiker zu dem Fehlschluss gelangen, wenn sich schon die additivenQuantenzahlen zu null summieren, dann sei das (innere) Produktbeider Komponenten, χ + σ 1 χ, auch generell eine U(2)-Invariante.Natürlich ist dies nicht der Fall: χ + σ 1 ist nicht der kontragredienteSpinor zu χ (vgl. den Kasten auf Seite 90)!In strikt mathematischem Sinne stellt die Konstruktion χ + σ 1 χ dieKomponente eines U(2)-Vektors dar. Per „Äquivalenztransformation“(exp[iπσ 2 /4]) lässt sie sich, mathematisch gleichwertig, in χ + σ 3 χüberführen. σ 3 ist jedoch auch als „Metrik“ einer U(1,1) interpretierbar.So täuscht χ + σ 1 χ (bzw., unter Einschluss des Spins: χ + γ 0 χ ≡ χ̅χ) lediglicheine U(2)-Invariante vor, ist in Wahrheit jedoch, aufgrundseines Metrik-Faktors σ 3 (bzw. γ 0 ), eine U(1,1)-Invariante.Analog generiert eine U(8) über ihre Pauli-Darstellung σ j x σ k x σ leine U(4,4) und eine U(64) eine U(32,32). Eine positiv-definite Normgewinnen wir aber nur über die echt-unitären Varianten.