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Quantengravitation− 17 −Nun arbeitet die alte Physik unentwegt mit „Transformationen“.Besonders beliebt sind komplex-wertige Transformationen, die einInneres Produkt zweier Vektoren p und q invariant lassen,also ihre relativen Projektionen (Wahrscheinlichkeiten) unverändertlassen. Solche Transformationen heißen in der Mathematik „unitär“.Die Gruppe aller solcher unitären Transformationen nennen dieMathematiker für n-dimensionale Vektoren eine „U(n)“.Unser Ausgangsvektor q him müsste sich nach dieser Nomenklaturgemäß einer Gruppe U(8) „transformieren“, ein Dirac-Spinor ψ(theoretisch) nach einer U(4) und ein Weyl-Spinor nach einer U(2).Nach den Regeln der Mathematik müssten sich dann die beidenEinzelvektoren in einem Inneren Produkt „kontravariant“ zueinanderverhalten – was immer das bedeuten mag.Und nun kommt der Hammer: Nennen wir die zum „kovarianten“U(8)-Spinor q gehörige kontravariante Version q̂, dann gaukelndie additiven Quantenzahlen (h,i,m), da sie in ψ + alle entgegengesetztzu denen in ψ sind, zwar vor, ψ + sei zu ψ kontravariant, inWahrheit jedoch gilt ψ + ≠ ψ̂ ! Das heißt: Die Physiker können sichdrehen und wenden, wie sie wollen – das „Innere Produkt“ zwischenψ + und ψ ist überhaupt nicht invariant!So musste im Dirac-Formalismus notgedrungen ψ + durch ein ψ̅≡ γ 0 ψ + ersetzt werden, in dem γ 0 eine der 16 nach Dirac benannten 4x4 Matrizenist. Aber: Schaut man sich diese Konstruktion genauer an, dannzeigt sich, dass diese Konstruktion mit γ 0 zu einer Konstruktion miteiner „Metrik“ äquivalent ist („Diagonalisierung von γ 0 “), die die „unitäre“U(4) von ψ in eine sog. „pseudo-unitäre“ U(2,2) überführt.„U(2,2)“ bedeutet, zwei ihrer Dimensionen (Komponenten) verhaltensich so wie bei einer Lorentz-Transformation die Zeit, unddie anderen beiden Dimensionen so wie der Raum. Die (additive)Aufspaltung unseres Quants q in zwei Dirac-Spinoren führt also automatischzu einer Aufspaltung unseres Oktetts q gemäßU(8) U(2,2) ⊕ U(2,2).