To the PDF-File

− 19 −Transformationen und ihre Logarithmen, die Generatoren, wirkenauf Vektoren (und Tensoren). Sie sind also Operatoren. Als solchewerden sie, von Ausnahmen abgesehen, nicht miteinanderkommutieren: ihre Reihenfolge ist signifikant. Ihre (Minus-) Kommutatorendefinieren eine „Quantisierung“. Heisenbergs Unschärferelationenfolgen aus den (Minus-) Kommutatoren von Q mit P.Der Teilchenzahl-Operator der U(2,2), der in einer SU(2,2) fehlt,ist der sog. „lineare Casimir-Operator“ C (1) der U(2,2). Eine U(2,2)besitzt 4 Casimir-Operatoren, C (1) bis C (4) . Sie sind allesamt Konstanteneiner Darstellung der Gruppe und charakterisieren sie. (Die nichtlinearenCasimirs einer U(n) und ihrer Untergruppe SU(n) sind identisch.)Für spezielle Interessenten: C (2) hat die längliche Form(2)≡ P 2 0 − P⃗ 2 − M 2 0 − Q 2 0 − Q⃗2 + L⃗ 2 − M⃗ 2 .C SU(2,2)ist ein quadratischer, also ein „nicht-linearer“ Ausdruck.Gleich constans gesetzt, liefert er eine gekrümmte Hyperfläche im15-dimensionalen Raum der Parameter: Einsteins gekrümmteRaum-Zeit! Trotzdem bleiben die 15 Generatoren selber linear, garantierenalso das Superpositionsprinzip der Quantentheorie. Dieswar einer der alten Scheinwidersprüche – die Linearität der Quantenmechanikversus Nichtlinearität Einsteins – von denen vielePhysiker meinten, er sei unüberwindbar, Planck und Einstein ließensich deshalb (angeblich) grundsätzlich nicht vereinen. Soso!Die Kosmologen sind stolz auf Einsteins „Hintergrunds-Unabhängigkeit“ihrer differenzialgeometrischen Darstellungsmethode: Diesearbeitet allein innerhalb jener gekrümmten Hyperfläche undbenötigt keinerlei Informationen über ein einbettendes Medium.Dies leistet die Gruppentheorie aber ebenfalls, Schlagwort: Irreduzibilität!Nur – die Methode Differenzialgeometrie kann ihre Hyperebeneüberhaupt nicht verlassen, diese Methode hat keineChance, etwa Kollisionen zweier Universen – oder viel banaler:zweier Teilchen – miteinander, o.Ä., durchzurechnen! Für die gruppentheoretischeMethode ist dies dagegen kein Problem. Die grup-C (2)