Sách tham khảo môn Toán - Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Đại Số 9 - Nguyễn Trung Kiên - FULLTEXT (518 trang)

a) Hiển nhiên x y 0 là một nghiệm của hệ. Ta xét x 0 và y 0 .
Cộng theo vế hai phương trình trong hệ ta được
1 1
2 2
2xy
x y . Chú ý rằng
3
2
3
2
x1 8 y1
8
1 1 1 1
;
.
3
2
2 3
2
x1 8 y1 8 2
Với xy 0 ta có
1 1
2xy
2xy x y
3
2
3
2
x1 8 y1
8
2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1. Với xy 0 . Khả năng này
không thể xảy ra. Thật vậy, không làm mất tính tổng quát giả sử x0, y 0
thì rõ ràng đẳng thức (1) không thể xảy ra. Vậy hệ có hai nghiệm xy ; là
0;0 , 1;1 .
b) Theo bất đẳng thức AM GM ta có :
x
y
xy 12 3x 10 xy y 3x 5x 5y y 8x 4y 2x y 3
2
.
Ta sẽ chứng minh:
6
x
y
3 3
2 2
x 2
2 2 x y 2x y
x xy y
3 3
6 x y
2 2
x xy y
Ta có:
x y x y
2 2
2 x y x y ( ).
2 2
2( ) Để chứng minh ( ) ta sẽ chứng minh bất
đẳng thức mạnh hơn là:
6
x
y
3 3
x xy y
2 2
2 2
2 2( x y ) (1)
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất