Sách tham khảo môn Toán - Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Đại Số 9 - Nguyễn Trung Kiên - FULLTEXT (518 trang)

1 1
có:
b c a ;
a a
b
b2 a b c c2
a b c
2 2 2 2
2 2
. Suy ra
1 1 1 a b c 2 a b c
1
2
a 2 b 2 c 2 abc
2 2 2
2
2 2 2
a b c 2 a b c a b c hay
2 2 2
a b c a b c 2 ab bc ca
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c 1.
Ví dụ 6) Cho các số thực dương abc , , sao cho ab bc ca 1. Chứng
4 2 4 2 4 2
minh rằng: 2abc a b c 5 a b b c c a . (Trích đề tuyển sinh
9
vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014).
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức
2 2 2
x y z xy yz zx . Ta có:
a 4 b 2 b 4 c 2 c 4 a 2 a 2 b. b 2 c b 2 c. c 2 a c 2 a.
a 2 b abc ab 2 bc 2 ca
2 .
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức: Cauchy- Shwarz và giá thiết
ab bc ca 1ta có:
2 2 2
2
2 2 2 b c a abc
ab bc ca abc a b c
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
2
4 2 4 2 4 2
a b b c c a abc a b c
2
. Từ đó suy ra
. Bây giờ ta sẽ chứng minh:
2 5
2
abc a b c
2abc a b c 0 t 6t 5 0 t 1t
5
0
9
. Mặt khác ta có:
với t abca b c
abca b c ab. ac bc. ba ca. cb 1 ab bc ca 2
1 0 t 1.
3 3
1
Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
3
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất