Sách tham khảo môn Toán - Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Đại Số 9 - Nguyễn Trung Kiên - FULLTEXT (518 trang)

Suy ra:
2 3 2 3 2 3 3 3 3
a x ; b y ; c z a x ; b y ; c z và
x, y, z 0 .Bất đẳng thức đã cho thành:
3 3 3 3 3 3 3 3 3
x y z 3xyz 2 x y y z z x (1)
Áp dụng bất đẳng thức Schur ta suy ra:
3 3 3
x y z 3xyz xy x y yz y z zx z x
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 3
3 3
3 3
Tương tự ta có: yz y z 2 y z , zx z x 2 z x
các bất đẳng thức trên ta thu được:
xy x y 2xy xy 2 x y .
Cộng vế theo vế
3 3 3 3 3 3
xy x y yz y z zx z x 2 x y y z z x (2)
Từ (1) và (2) ta có: x
3 y 3 z 3 3xyz 2 x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x
3
2 2 2 3
2
Hay a b c 3 abc ab bc ca
. Đẳng thức xảy ra khi
x y z hay ab c.
Ví dụ 5) Cho abc , , là các số thực dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng
a 3 b 3 c 3 a 2 b 2 c
2
6 1 5 .
Lời giải:
Ta có:
2
3 3 3
a b c 3abc a b c a b c 3 ab bc ca 1 3 ab bc ca
suy ra
3 3 3
6 a b c 1 6 1 3 ab bc ca 18abc
1
2
2 2
118abc 6 a b c 18
ab bc ca
118abc 5 a b c a b c 18
ab bc ca
2 2 2
2
a b c abc a b c ab bc ca
a 2 b 2 c 2
abc ab bc ca
1 5 18 8
5 2 9 1 4
.Theo ví dụ 1 ta có:
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất