Apunte

Por lo tanto
4. POLINOMIOS DE TCHEBYCHEV - MINIMIZACIÓN DEL ERROR 97
pn+1(x) = f(x0) + f[x0, x1](x − x0) + · · · + f[x0, . . . , xn+1](x − x0) · · · (x − xn)
= pn(x) + f[x0, . . . , xn+1]Wn+1(x).
f(xn+1) = pn+1(xn+1) = pn(xn+1) + f[x0, . . . , xn+1]Wn+1(xn+1).
De aquí se deduce que el error satisface
En(xn+1) = f(xn+1) − pn(xn+1) = f[x0, . . . , xn+1]Wn+1(xn+1).
Como tomamos xn+1 cualquier punto distinto de x0, . . . , xn se tiene para todo x,
En(x) = f(x) − pn(x) = f[x0, . . . , xn, x]Wn+1(x).
Corolario 5.8. Dados x0, . . . , xn puntos distintos, existe ξ intermedio, es decir ξ entre x0, . . . , xn
tal que
f[x0, . . . , xn] = f (n) (ξ)
.
n!
Demostración. Evaluando en x = xn la expresión del error En−1 = f −pn−1, dada por el teorema
anterior tenemos,
En−1(xn) = f[x0, . . . , xn](xn − x0) · · · (xn − xn−1)
lo que junto con la fórmula del error dada en el Teorema 5.4 concluye la demostración.
4. Polinomios de Tchebychev - Minimización del Error
Una pregunta natural es cómo elegir los puntos de interpolación para optimizar la aproximación.
El Teorema 5.4 nos dice que el error depende de f (n+1) en algún punto del intervalo y de los
puntos xj a través del polinomio Wn+1(x) = (x − x0)(x − x1) · · · (x − xn). Como se pretende
obtener una buena aproximación sin tener información sobre la función f, la idea es elegir los
puntos de manera tal que Wn+1(·)∞ sea mínima. Este problema, que en principio parece complicado,
fue resuelto por Tchebychev en el siglo XIX introduciendo una sucesión de polinomios,
que hoy llevan su nombre.
Para simplificar la presentación resolveremos el problema para funciones definidas en el intervalo
[−1, 1]. Más adelante veremos que se puede trasladar la construcción a cualquier intervalo [a, b]
mediante un cambio de variables.
Los polinomios de Tchebychev se definen para k = 0, 1, 2, . . . por