Apunte

La desigualdad triangular se obtiene al tomar raíz cuadrada.
1. PRELIMINARES 119
La norma asociada al producto escalar usual en IR 2 o IR 3 definido en el Ejemplo 6.3 (1) corresponde
a la norma x2 y da la longitud del vector x. Recordemos además que este producto
escalar puede escribirse, para x e y no nulos, en términos de las longitudes de ambos vectores y
de θ, el ángulo entre estos, a saber,
〈x, y〉 = xy cos θ.
En particular, x e y son ortogonales si y sólo si 〈x, y〉 = 0.
La gran ventaja de trabajar en espacios con producto interno es que se puede generalizar esta
noción de ortogonalidad.
Notar que la desigualdad de Cauchy - Schwartz da, para todo x, y = 0
|〈x, y〉|
≤ 1.
xy
Esto permite definir el ángulo entre dos vectores x, y no nulos mediante la función coseno. Es
decir θ ∈ [0, π] será el ángulo entre x e y si verifica
cos(θ) =
Luego resulta natural la siguiente definición.
〈x, y〉
xy .
Definición 6.6. Si V es un espacio con producto interno 〈., .〉, se dice que x e y son ortogonales
si 〈x, y〉 = 0. En este caso suele notarse x ⊥ y.
Definición 6.7. Dos conjuntos A, B ⊂ V se dicen ortogonales (A ⊥ B) si x ⊥ y para todo
x ∈ A e y ∈ B.
El siguiente teorema relaciona los problemas de aproximación que queremos estudiar con la
noción de ortogonalidad.
Teorema 6.8. Dados S un subespacio de un espacio V con producto interno, x ∈ V e y ∈ S,
son equivalentes:
1. x − y = mín{x
− s}
s∈S
2. 〈x − y, s〉 = 0, ∀s ∈ S.
Además, un elemento y ∈ S que verifique alguna de las propiedades anteriores es único.
Demostración. Veamos primero que (1) implica (2). Sabemos que y ∈ S minimiza la distancia
de x a S. Como S es un subespacio, se tiene que y + s ∈ S para todo s ∈ S, y por lo tanto,
x − y 2 ≤ x − (y + s) 2 = (x − y) − s) 2 = x − y 2 − 2〈x − y, s〉 + s 2 .