Apunte

48 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
métodos iterativos (por ejemplo Jacobi y Gauss-Seidel). Supongamos que el método i (i = 1, 2)
tiene la matriz de iteración Bi. Si
ρ(B1) < ρ(B2)
entonces
B k 1 < B k 2
para k grande. O sea el método 1 es mejor asintóticamente (aunque para un número dado de
iteraciones podría ser mejor el 2).
2.3. Análisis de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.
Definición 3.8. Una matriz A ∈ IR N×N es estrictamente diagonal dominante si
|aii| >
j=i
|aij| ∀i
Si A es estrictamente diagonal dominante entonces tanto Jacobi como Gauss-Seidel convergen.
Teorema 3.9. Si A es estrictamente diagonal dominante el método de Jacobi converge.
Demostración. Recordemos que
En este caso es fácil ver que
En efecto, BJ = (bij) con
entonces
A = D + L + U BJ = −D −1 (L + U)
bij = aij
aii
BJ∞ < 1
para i = j y bii = 0
|aij|
BJ∞ = máx < 1
i |aii|
j=i
pues A es estrictamente diagonal dominante.
Teorema 3.10. Si A es estrictamente diagonal dominante el método de Gauss-Seidel converge.
Demostración. Como antes recordemos que
A = D + L + U BGS = −(L + D) −1 U.
Hay que ver que ρ(B) < 1. Sea λ un autovalor de B y x un autovector con x∞ = 1. Entonces
tenemos,
−(L + D) −1 Ux = λx
y esto es equivalente a
−Ux = λ(L + D)x
N
i
− aijxj = λ aijxj.
j=i+1
j=1