Apunte

3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 71
Observación 4.4. Si f ′ es continua, una sucesión (xn) construida con este método, si converge,
converge a una raíz de f.
Demostración. Se r = lím xn. Tenemos
f ′ (xn)(xn+1 − xn) = f(xn).
Como f y f ′ son continuas, al tomar límite queda 0 = f ′ (r)(r − r) = f(r).
Notemos que, En efecto,
Ahora analicemos la convergencia del método. Sea r una raíz simple de f, es decir, f(r) = 0,
f ′ (r) = 0 y supongamos que f ′′ es acotada.
Debemos estimar el error que se comete al usar xn en lugar de la solución exacta (y desconocida)
r. Esto es, estudiamos la expresión en = xn − r y vemos si en → 0.
Recta tangente a f en x 0
x 0
Figura 4.4.
Para analizar la convergencia del error miramos la sucesión recursiva
entonces
en+1 = xn+1 − r = xn − f(xn)
f ′ (xn) − r = en − f(xn)
f ′ (xn)
f(x)
en+1 = enf ′ (xn) − f(xn)
f ′ (xn)
x
(4.1)