Apunte

y
z T u ≤ 1 ∀u ∈ IR n
1. EJERCICIOS 29
tal que u = 1 (2.11)
La existencia de un tal z es la parte más técnica de la demostración y omitiremos la escritura
formal. Sin embargo, observemos que es intuitivamente claro si analizamos el significado geométrico:
los u que verifican la ecuación z T u = 1 forman un hiperplano (es decir, una variedad
lineal de dimensión n − 1). Por lo tanto, que haya un z verificando (2.10) y (2.11) significa que
hay un hiperplano que pasa por x y que deja a la bola unitaria B1 = {u ∈ IR n : u ≤ 1} de un
lado. La existencia de tal hiperplano es clara si se tiene en cuenta que, para toda norma, B1 es
un conjunto convexo y que x está en el borde de éste. Observemos también que, en el caso de la
norma 2, se tiene que z = x.
Definamos ahora B = A − yz T y veamos que esta matriz es singular y cumple con la igualdad
que queríamos. En efecto,
y por lo tanto, B es singular.
Bx = Ax − yz T x = y − y = 0
Por otra parte, A − B = yz T , pero por (2.11) tenemos que |z T u| ≤ 1 para todo u tal que
u = 1 puesto que, si z T u < 0 entonces, |z T u| = −z T u = z T (−u) ≤ 1 ya que − u = 1.
Entonces,
y por lo tanto,
yz T u = y|z T u| ≤
lo que concluye la demostración.
1
A −1
A − B ≤
∀u ∈ IR n
1
A −1
tal que u = 1
1. Ejercicios
3 0
1. Calcular la norma 2 de la matriz A = .
4 5
2. Se quiere estimar la norma 2 de una matriz A ∈ IR3×3 como el máximo del valor
Ax2/x2 entre varios vectores x ∈ IR3 no nulos generados al azar. Hacer un programa
que pida el ingreso de una matriz A y luego
genere los primeros 100 términos de la siguiente sucesión:
s1 = 0, sk+1 = máx sk, Axk2
xk2
donde los xk ∈ IR 3 son vectores no nulos generados al azar cuyas coordenadas estén
el intervalo [−1, 1].