Apunte

3. FÓRMULAS DE CUADRATURA COMPUESTAS 149
como G es un múltiplo de g, resulta continua en [a, b]. Además, el valor máximo de G en [a, b]
es M k j=0 aj y el valor mínimo es m k j=0 aj. Entonces, por el teorema del valor medio, existe
η ∈ [a, b] tal que
k
G(η) = ajg(tj),
es decir
como queríamos demostrar.
g(η)
j=0
k
aj =
j=0
k
ajg(tj),
Consideremos el caso de nodos equiespaciados. Esto nos permitirá aprovechar las fórmulas ya
calculadas (Trapecios y Simpson) dado que la distancia entre dos nodos, que también llamaremos
‘paso h’ no varía.
Regla de Trapecios compuesta: para la fórmula cerrada se tiene que tanto a como b son
nodos, luego tomamos los nodos xj = a + jh para j = 0, . . . , n − 1 con h = (b − a)/n.
La fórmula (7.2) nos da para cada integral
Luego,
T (f) =
xj+1
xj
n−1
j=0
j=0
f(x) dx ∼ Tj(f) = h
2 (f(xj) + f(xj+1)),
h
2 (f(xj) + f(xj+1))
= h
2 [f(x0) + f(x1) + f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn−1) + f(xn)]
= h
⎡
⎤
n−1
⎣f(x0) + 2f(xj) + f(xn) ⎦
2
j=1
Entonces la cuadratura compuesta usando la regla de Trapecios cerrada viene dada por
T (f) = h
⎡
⎤
n−1
⎣f(x0) + 2f(xj) + f(xn) ⎦ (7.10)
2
Como para cada subintervalo se comete un error (ver (7.7)) Rj(f) = − f ′′ (ηj)
12 h3 se tiene
n−1
R(f) =
j=0
j=1
− f ′′ (ηj)
12 h3 = − h3
n−1
12
j=0
f ′′ (ηj).