Apunte

pues z ∗ Az > 0 y z ∗ Dz > 0 (aii > 0 si A es definida positiva).
Entonces si λ = α + iβ, tenemos
1
1 − λ =
2. MÉTODOS ITERATIVOS 59
1
1 − α − iβ
1 − α + iβ
1 − α + iβ
1 − α + iβ
=
(1 − α) 2 .
+ (β) 2
Y de esta forma
1 1 − α
Re( ) =
1 − λ (1 − α) 2 + (β) 2
y por lo anterior
1 − α
(1 − α) 2 1
>
+ (β) 2 2
es decir
2(1 − α) > 1 − 2α + α 2 + β 2
y esto es equivalente a
1 > α 2 + β 2 .
Hemos conseguido ver que
|λ| < 1.
Se puede probar que si A ∈ CN×N es Hermitiana y con aii > 0 entonces el método de Gauss-
Seidel converge si y sólo si A es definida positiva .
2.5. Método SOR. La idea del método SOR (successive over relaxation / sobre relajación
sucesiva) es tomar un “promedio” entre el xk i y el xk+1
i de Gauss-Seidel (promedio entre comillas
pues los pesos no son necesariamente menores o iguales que 1).
Dado ω un parámetro se define
= (1 − ω)xk ⎛
i−1
i + ω ⎝bi −
x k+1
i
j=1
aijx k+1
j
−
N
j=i+1
En forma matricial escribimos como antes A = L + D + U queda
entonces
con
Observemos que B1 = BGS.
(D + ωL)x k+1 = ((1 − ω)D − ωU)x k + ωb
x k+1 = Bωx k + (D + ωL) −1 ωb
Bω = (D + ωL) −1 ((1 − ω)D − ωU)
En principio, ω es arbitrario. Sin embargo el siguiente teorema nos dice que es necesario que
|ω − 1| < 1 para que haya convergencia (o sea para que ρ(Bω) < 1). Si ω ∈ IR entonces hace
falta que 0 < ω < 2.
Teorema 3.23. (Kahan) Sea A ∈ C N×N , con aii = 0, entonces
ρ(Bω) ≥ |1 − ω|
aijx k j
⎞
⎠ 1
aii