Apunte

2. MÉTODOS ITERATIVOS 43
Entonces si queremos que e k → 0 para todo dato inicial, es necesario que B k → 0. El siguiente
objetivo es dar una caracterización de las matrices con esta propiedad.
En el ejemplo dedujimos que Bk → 0 del hecho de que B < 1. Sin embargo B∞ podría ser
grande y Bk → 0. Por ejemplo
1
B = 2 1000
1 0 2
Observemos que B∞ = 1000,5. Sin embargo Bk → 0. En efecto B = 1
1 2000
2
.
0 1
En general las matrices de la forma C =
Entonces
1 a
0 1
B k = ( 1
2 )k
1 k2000
0 1
y se tiene que (Bk )ij → 0, ∀i, j y esto implica que Bk → 0.
verifican que Ck =
1 ka
0 1
Vale destacar que para que B k → 0 basta que exista alguna norma tal que B < 1.
El segundo ejemplo trata el caso en que A es simétrica. En este caso se puede diagonalizar, es
decir, existe S tal que
SAS −1 ⎛
λ1
⎜
= ⎝
· · ·
. ..
0
⎞
⎟
⎠
0 · · · λN
con λi los autovalores de A. En este caso
A k = S −1
⎛
λ
⎜
⎝
k 1 · · ·
. ..
0
⎞
⎟
⎠ S
y se tiene que
si y sólo si
0 · · · λ k N
A k → 0
máx |λi| = ρ(A) < 1
i
Esto es cierto en general, pero si A no es diagonalizable es más difícil de probar.
En el caso en que A es simétrica se tiene
ρ(A) = A2
entonces, si ρ(A) < 1 se tiene que A2 < 1 y entonces A k → 0.
En general vale que,
ρ(A) ≤ A para cualquier norma