Apunte

80 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
es decir,
0 = f(xn) + (xn+1 − xn) f(xn) − f(xn−1)
xn − xn−1
xn − xn−1
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn) − f(xn−1) .
Observemos que esta fórmula es análoga a la de Newton reemplazando f ′ por un cociente
incremental.
La ventaja es que no hay que calcular la derivada de f (esto es de gran ayuda en un caso en que
f ′ sea difícil de calcular).
La desventaja es, según veremos, que la convergencia de la sucesión es más lenta que la que
produce el método de Newton.
Observemos que la iteración del método de la secante también puede escribirse como
xn+1 = f(xn)xn−1 − f(xn−1)xn
.
f(xn) − f(xn−1)
Analicemos el orden de convergencia de este método, según la definición 4.8. Tenemos
Luego,
Es decir,
f(r) = 0 y en = r − xn.
en+1 = r − xn+1 = r − f(xn)xn−1 − f(xn−1)xn
f(xn) − f(xn−1)
= en−1f(xn) − enf(xn−1)
f(xn) − f(xn−1)
= en−1(f(xn) − f(r)) − en(f(r) − f(xn−1))
f(xn) − f(xn−1)
= −enen−1 f(xn)−f(r)
en+1 = enen−1
xn−r
f(xn−1)−f(r)
xn−1−r
f(r)−f(xn−1)
+ enen−1
f(xn) − f(xn−1)
f(r)−f(xn)
−
xn−r
f(xn) − f(xn−1)
xn−1−r
.
. (4.7)