Apunte

2. MÉTODOS ITERATIVOS 53
Concluimos que en este ejemplo el método de Jacobi converge en tres pasos pero Gauss-Seidel
no converge (existen datos iniciales para los cuales no converge).
Modificando trivialmente este ejemplo puede obtenerse un ejemplo en que ambos métodos convergen
y se tiene ρ(BJ) < ρ(BGS) < 1. Sea
⎛
5
A = ⎝ 1
2
5
⎞
−2
1 ⎠
2 2 5
que es estrictamente diagonal dominante y entonces Jacobi y Gauss-Seidel ambos convergen.
Veamos un ejemplo más.
Ejemplo 3.15. Este es un ejemplo para el cual ninguno de los dos métodos converge.
Aplicando Jacobi resulta
con lo cual,
⎛
A = ⎝
2 1 −1
−2 2 −2
1 1 2
⎞
⎠ .
⎛
1 1 0 − 2 2
BJ = ⎝ 1 0 1
− 1
⎞
⎠
1
2 − 2 0
⎛
λI − BJ = ⎝ λ ⎞
1 1
2 − 2
−1 λ −1 ⎠
λ
p(λ) = λ 3 + 5
4 λ
y los autovalores de BJ resultan
λ1 = 0
√
5
λ2 = i
2
√
5
λ3 = −i
2 .
Entonces,
y en consecuencia Jacobi no converge.
√
5
ρ(BJ) = > 1
2
Para Gauss-Seidel se tiene
⎛
L + D = ⎝
2 0 0
−2 2 0
1 1 2
1
2
1
2
⎞
⎠ ; (L + D) −1 ⎛
⎜
= ⎜
⎝
1
2 0 0
1
2
− 1
2
1
2
− 1
4
0
1
2
⎞
⎟
⎠
y