Apunte

1. MÉTODOS DE UN PASO 173
xi+1 = xi + hf(ti, xi) + 1
2 h2 [ft(ti, xi) + fx(ti, xi)f(ti, xi)]. (8.7)
La fórmula de iteración (8.7) se conoce con el nombre de Método de Taylor de orden 2 y
corresponde a la expresión (8.4) si consideramos Φ(t, x, h) = f(t, x) + h
2 [ft(t, x) + fx(t, x)f(t, x)].
El método de Taylor de orden 3 se consigue derivando x ′′ . En lo que sigue escribimos simplemente
x en lugar de x(t). La fórmula para x ′′′ queda en términos de f y sus derivadas,
x ′′′ (t) = ftt(t, x) + 2ftx(t, x)f(t, x) + fxx(t, x)f 2 (t, x)
+ft(t, x)fx(t, x) + f 2 t (t, x)f(t, x).
Continuando de esta manera se pueden calcular las derivadas de x hasta orden k en términos
de f y sus derivadas. Esto nos da una manera de calcular métodos de aproximación de un paso
(solo usamos ti, xi y h para calcular la siguiente aproximación xi+1).
Para formalizar este procedimiento introducimos dos notaciones. Llamamos D j f a la derivada
total de f respecto de t, es decir
D j f(t, x) = d(j)
f(t, x(t)).
dt
Por ejemplo, si j = 0, D 0 f(t, x) = f(t, x) y para j = 1, D 1 f(t, x) = ft(t, x) + fx(t, x)f(t, x).
Ahora, ponemos
Tk(t, x, h) =
Así, de (8.6) obtenemos la aproximación
k hj−1 j=1
x(t + h) ∼ x(t) + hTk(t, x, h)
de donde se tiene la siguiente fórmula de recurrencia,
xi+1 = xi + hTk(ti, xi, h).
j! Dj f(t, x). (8.8)
Estos métodos se conocen como métodos de Taylor de orden k. Su mayor problema es que
requieren encontrar y evaluar derivadas sucesivas de f(t, x).
Ejemplo 8.4. Aplicar el método de Euler y Taylor de orden 2 para el problema
x ′ (t) = t+2
t+1 x,
x(0) = 1.