Apunte

136 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En este caso, es sencillo calcular el valor exacto de 0
−1 x3 − 4x + 4 dx = 23
4
calcular exactamente el error que se comete, R(f) = 1
4 = 0,25.
con lo cual se puede
Más adelante nos dedicaremos al estudio del error. Veamos ahora una pequeña modificación a
la regla de trapecios.
Regla de Trapecios abierta: en este caso, en lugar de considerar como nodos los extremos del
intervalo [a, b] vamos a usar dos puntos interiores equiespaciados {x1, x2}. Luego, sustituímos
la función f por la recta que la interpola en esos nodos (ver Figura 7.2). Para ésto partimos
al intervalo [a, b] en tercios, es decir en subintervalos de longitud h = b−a
3 . De esta manera
consideramos {x1, x2} los extremos del intervalo medio, es decir xj = a + jh para j = 1, 2. El
polinomio de grado 1 que interpola a f en esos nodos es
p(x) = f(x1) + f(x2) − f(x1)
(x − x1).
x2 − x1
Integrando p en [a, b] y recordando que h = b−a
3 (ésto es: b − a = 3h, x2 − x1 = h, b − x1 = 2h,
y a − x1 = −h) tenemos
Luego, para h =
b
a
b − a
3 ,
7
6
5
4
3
2
1
(x 1 , f(x 1 ))
(x 2 , f(x 2 ))
0
−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
Figura 7.2. Regla de Trapecios simple abierta
p(x) dx = f(x1)x + f(x2) − f(x1) (x − x1)
x2 − x1
2
2
b
a
= f(x1)3h + f(x1) − f(x2)
(2h) 2 − (−h) 2
h
2
= 3hf(x1) + f(x1) − f(x2) 3h
h
2
2
f(x1) + f(x2)
= 3h
2