Apunte

182 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Para Runge-Kutta de orden 2 tenemos:
Método de Euler modificado: xi+1 = xi + h f(ti + h
2 , xi + h
2 f(ti, xi)) ,
Método de Heun: xi+1 = xi + h
2 [f(ti, xi) + f(ti+1, xi + hf(ti, xi))] .
Luego Φ(t, x, h) = f(t + h
h
1
2 , x + 2 f(t, x)), y Φ(t, x, h) = 2 f(t, x) + f(t, x + hf(t, x)) respectivamente.
En ambos casos resulta
Φ(t, x, 0) = f(t, x).
Observación 8.13. El Teorema 8.10 requiere de la existencia de una constante de Lipschitz K
para la función de incremento Φ. De existir una constante así, cualquier otra mayor también
sirve para acotar el error utilizando la fórmula (8.20).
En los casos de los métodos de Runge-Kutta la hipótesis que Φ sea Lipschitz, condición (8.19),
puede deducirse de que f lo sea. Consideremos, por ejemplo, el método de Euler modificado
(8.11), en un intervalo [a, b].
Suponiendo que existe una constante L, tal que para todo t ∈ [a, b]
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ L|x − y|,
se tiene para Φ(t, x, h) = 1
h h
2 f(t + 2 , x + 2 f(t, x)) que
|Φ(t, x, h) − Φ(t, y, h)| ≤ L
x 2 − y + h
2
≤ L
2
f(t, x) − h
2 f(t, y)
h
(|x − y| + L 2 |x − y|).
Como h ≤ b − a, se tiene (8.19) para Φ, con K = 1
2 (L + L2 (b − a)).
Ejemplo 8.14. Se utiliza el método de Taylor de orden 2 con un paso h < 1 para aproximar la
solución del siguiente problema: x ′ (t) = sen(x(t)) + cos(x(t)),
x(2) = 1
Hallar h para que el error cometido en t = 2,5 sea menor que 10 −4 y dar un valor de n tal que
el término n-ésimo de la iteración que da el método verifique que |xn − x(2,5)| < 10 −4 .