Apunte

192 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
donde ri es cualquiera de las raíces del polinomio p(z) dado en (8.27).
Si asumimos que el método es convergente se tiene que
Además
xn+k → x(T ) = 0 h → 0.
xn+k = h(ri) n+k .
Para verificar que xn+k → 0, como n = T/h → ∞ cuando h → 0 se debe tener que
|ri| ≤ 1.
Entonces la convergencia implica que todo cero de p(z) debe satisfacer
|ri| ≤ 1.
Además, si ri es una raíz múltiple de p(z) podemos poner
xj = hj q (ri) j
con q ≤ m − 1 (m es la multiplicidad de la raíz). Tenemos
xn+k = h(n + k) q r n+k
i
y como h(n + k) = T para que xn+k → 0 se debe tener
|ri| < 1.
Las condiciones que acabamos de analizar para la convergencia de un método de multipaso se
pueden resumen en la siguiente
Condición 8.21. (de la raíz)
1. |ri| ≤ 1 si ri es un cero simple de p(r).
2. |ri| < 1 si ri es un cero múltiple de p(r).
Ahora podemos enunciar el teorema
Teorema 8.22. Un método multipaso es convergente si y sólo si el método es consistente y
satisface la condición de la raíz.
Ejemplo 8.23. Se quiere estudiar la convergencia de
(a) el método hallado en el Ejemplo 8.17.
(b) el método de Milne dado por la ecuación (8.23).