Apunte

196 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
16. Considerar el siguiente problema:
x ′′ − 3x ′ + 2x = 0, con x(0) = 1, x ′ (0) = 0.
Resolver la ecuación analíticamente y aproximar el valor x(1) con un método de Runge-
Kutta de orden 2 para distintos valores de h.
17. Analizar la convergencia de los siguientes métodos y calcular su órden.
Adams-Bashforth.
xn+3 − xn+2 = h
12 (23fn+2 − 16fn+1 + 5fn).
Adams-Moulton.
xn+3 − xn+2 = h
12 (5fn+3 + 8fn+2 − fn+1).
18. Considerar el método de 2 pasos
xn+2 + axn+1 + axn = h(β2fn+2 + β1fn+1 + β0fn).
Determinar a, β2, β1, β0 de modo que el método resultante tenga orden 4.
19. Decidir si existe algún valor de a ∈ IR para el cual el siguiente método multipaso sea
convergente:
xn+3 − 3xn+2 + (3 − a 2 )xn+1 + (a 2 − 1)xn = h[5fn+2 + (−a 2 − 5)fn].
20. Miscelánea. Considerar la ecuación x ′ = |x|.
a) Para el valor inicial x(0) = 0, seguir las iteraciones del método de Euler, con paso
h = 0,1 hasta llegar al valor de x(10).
b) Graficar la solución que se obtiene al aplicar el método de Euler, si el valor de x(0)
es dado con un error de 10−6 , es decir x(0) = 0,000001.
Nota: La gran propagación del error en el dato inicial se debe a que esta ecuación
tiene infinitas soluciones si x(0) = 0. En particular, cualquiera sea α > 0
⎧
⎨ 0 t ≤ α
x(t) = (t − α)
⎩
2
t > α
4
es solución de la misma.