Apunte

2. ERROR DE INTERPOLACIÓN 93
reemplazo tenga alguna validez numérica es importante conocer una estimación del error que
se comete. Para esto será necesario suponer que la función f verifica algunas condiciones de
suavidad. Llamemos a este error:
En(x) = f(x) − pn(x), x ∈ [a, b].
Con el siguiente teorema, damos el primer paso para poder estimar el error cometido; es decir,
damos una expresión para En(x).
Dados los puntos x0, . . . , xn, utilizaremos la notación Wn+1 para designar al polinomio mónico
de grado n + 1 que se anula en esos puntos. Es decir,
Wn+1(x) = (x − x0) · · · (x − xn)
Teorema 5.4. Sean f ∈ C n+1 [a, b] y pn ∈ Pn el polinomio interpolador de f en x0, . . . , xn
puntos del intervalo [a, b]. Para cada x ∈ [a, b], existe ξ ∈ [a, b], ξ = ξ(x), tal que
En(x) = f(x) − pn(x) = f (n+1) (ξ)
(n + 1)! Wn+1(x).
Demostración. Notar que En(xj) = 0 y Wn+1(xj) = 0 para todo j. Por lo tanto, podemos
suponer x = xj. Fijado x definimos la siguiente función de t,
F (t) = f(t) − pn(t) − αWn+1(t)
donde α se elige de modo que F (x) = 0. O sea, α = f(x)−pn(x)
Wn+1(x) , que está bien definida pues
Wn+1(x) = 0. Observemos que para todo j,
F (xj) = f(xj) − pn(xj) − αWn+1(xj) = 0.
Entonces F se anula en los n + 2 puntos x0, . . . , xn, x. En consecuencia, por el teorema de Rolle,
F ′ tiene al menos n + 1 ceros, F ′′ al menos n ceros y así siguiendo se tiene que existe un punto
ξ ∈ (a, b) tal que F (n+1) (ξ) = 0. Como
Se obtiene,
lo que concluye la demostración.
F (n+1) (t) = f (n+1) (t) − (n + 1)!α
f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
= f(x) − pn(x)
Wn+1(x)
Ejemplo 5.5. Analicemos qué sucede si se quiere interpolar la función f(x) = cos(x) 3 en el
intervalo [−3, 3] por un polinomio.