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70 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES o sea, f(x) Método de Newton−Raphson x 1 x 2 Figura 4.2. x 0 Figura 4.3. x 1 xn+1 = xn − f(xn) f ′ (xn) Observemos que para que esto tenga sentido, hay que suponer f ′ (xn) = 0, esto es obvio gráficamente como muestra la figura 4.3. x 0 f(x) x 2
3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 71 Observación 4.4. Si f ′ es continua, una sucesión (xn) construida con este método, si converge, converge a una raíz de f. Demostración. Se r = lím xn. Tenemos f ′ (xn)(xn+1 − xn) = f(xn). Como f y f ′ son continuas, al tomar límite queda 0 = f ′ (r)(r − r) = f(r). Notemos que, En efecto, Ahora analicemos la convergencia del método. Sea r una raíz simple de f, es decir, f(r) = 0, f ′ (r) = 0 y supongamos que f ′′ es acotada. Debemos estimar el error que se comete al usar xn en lugar de la solución exacta (y desconocida) r. Esto es, estudiamos la expresión en = xn − r y vemos si en → 0. Recta tangente a f en x 0 x 0 Figura 4.4. Para analizar la convergencia del error miramos la sucesión recursiva entonces en+1 = xn+1 − r = xn − f(xn) f ′ (xn) − r = en − f(xn) f ′ (xn) f(x) en+1 = enf ′ (xn) − f(xn) f ′ (xn) x (4.1)
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ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO Ric
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