Apunte

3. MÉTODOS MULTIPASO LINEALES 191
Si los valores iniciales se eligen de la forma xl = lhM el método va a producir la solución
xl = lhM y en particular
xn+k = (n + k)hM
Como suponemos que el método es convergente se tiene que lo valores iniciales satisfacen xi →
x(0) = 0 cuando h → 0, y además xn+k → x(T ), pero
Entonces concluimos que
lo que nos da
xn+k = (n + k)hM = T M → T
M = 1
C1 = 0.
Esto se denomina consistencia del método multipaso.
Un método de multipaso de k pasos,
p(z) =
k
αjxn+j = h
j=0
k
αjz j
j=0
k
βjfn+j, tiene asociados dos polinomios
j=0
y q(z) =
Con esta notación podemos enunciar el siguiente resultado.
k
βjz j . (8.27)
Proposición 8.20. Si p y q son los polinmios definidos en (8.27),la consistencia de un método
de multipaso de k pasos está dado por las condiciones:
j=0
p(1) = 0, p ′ (1) = q(1).
Para los métodos de un paso, la consistencia implicaba la convergencia, para los métodos multipaso
se requiere una condición adicional la condición de la raíz.
Veamos esto. Ahora consideremos el problema x ′ (t) = 0, x(t) = 0, cuya solución es x(t) ≡ 0.
En este caso el método se reduce a
k
αjxn+j = 0.
j=0
Esto describe una ecuación en diferencias que admite como solución a la sucesión
xm = hr m i