Apunte

3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 73
y x2 ∈ Iε. Continuando de esta manera, obtenemos una sucesión (xn)n∈IN ⊂ Iε tal que
|en| ≤ λ n |e0|.
Como 0 < λ < 1 se tiene que |en| → 0 si n → ∞. Finalmente, la desigualdad (4.3) se obtiene de
(4.2).
Corolario 4.6. Si f ′ es continua y f ′′ es acotada en [a, b] y r ∈ [a, b] es una raíz simple de
f, entonces existe un ε > 0 tal que si x0 ∈ Iε = [r − ε, r + ε] ⊂ [a, b], el método de Newton
empezando en x0 converge a r.
Demostración. Como f ′ (r) = 0 y f ′ es continua, existen α > 0 y δ > 0 tales que I = [r−α, r+α] ⊂
[a, b] y |f ′ (x)| > δ para todo x ∈ I. Ahora estamos en las condiciones del teorema 4.5.
Observación 4.7. Un caso particular del corolario 4.6 es una función C 2 ([a, b]) que tiene a
r ∈ [a, b] como raíz simple.
Ahora, queremos estudiar la rápidez con la que una sucesión generada por un método, converge
a la solución exacta. Para eso necesitamos la siguiente
Definición 4.8. En general podemos definir que un método es de orden p si existe una constante
C > 0 tal que
lím
n→∞
|en+1|
= C y lím
|en| p n→∞
|en+1|
= 0
|en| p−ε
Observemos primero que cuanto más grande sea p mejor. Ahora, veamos qué significa esto
geométricamente. Para valores grandes de n, es decir, asintóticamente, se puede considerar que
el comportamiento de las sucesiones |en+1| y |en| p son equivalentes, lo que se expresa como
|en+1| ∼ C|en| p .
Por otra parte, si se obtiene una desigualdad de la forma
|en+1| ≤ C|en| p
podemos asegurar que el orden de convergencia es por lo menos p.
La convergencia para el método de Newton-Raphson es cuadrática, es decir, p = 2. Si bien, con
la desigualdad (4.3) podemos asegurar que existe C > 0 tal que
|en+1| ≤ C|en| 2