Apunte

El primer método a analizar es
xtn+3
3. MÉTODOS MULTIPASO LINEALES 193
− xtn+1 = h[7
3 fn+2 − 2
3 fn+1 + 1
3 fn],
Para estudiar la consistencia y la condición de la raíz escribimos los polinomios p y q.
p(z) = z 3 − z y q(z) = 7
3 z2 − 2 1
z +
3 3 .
La consistencia se verifica puesto que p(1) = 0 y p ′ (1) = 3z 2 −1|z=1 = 2 = q(1). Para la condición
de la raíz, vemos que las raíces de p son {−1, 0, 1}, todas distintas y de módulo menor o igual a
1. Luego, el método es convergente.
Para el método de Milne tenemos
p(z) = z 2 − 1 y q(z) = 1
3 z2 + 4 1
z +
3 3 .
= q(1). Para la
condición de la raíz, notar que las raíces de p son {−1, 1} sin multiplicidad y de módulo menor
o igual a 1. Luego, el método es convergente.
La consistencia se verifica puesto que p(1) = 0 y p ′ (1) = 2z|z=1 = 2 = 6
3
Para finalizar analizaremos el orden de convergencia de un método.
Ejemplo 8.24. Se quiere determinar el orden de convergencia de
(a) el método hallado en el Ejemplo 8.17.
(b) el método de Milne dado por la ecuación (8.23).
Las constantes Cq con q ≥ 1 dependen de αj y βj, j = 0, . . . , k.
Para el ítem (a), k = 3, (α0, α1, α2, α3) = (0, −1, 0, 1) y (β0, β1, β2, β3) = ( 1
3
, − 2
3
Como α0 = α2 = 0 y β3 = 0 omitimos escribirlos. Calculamos los coeficientes Cq:
C0 = α1 + α3 = 0,
C1 = α1 + 3α3 − (β0 + β1 + β2) = −1 + 3 − ( 6
3 ) = 0,
C2 = 1
2 (α1 + 32α3) − (β1 + 2β2) = 1
12
2 (−1 + 9) − 3 = 0.
C3 = 1
6 (α1 + 33α3) − 1
2 (β1 + 22β2) = 1
1 2 28
6 (−1 + 27) − 2 (− 3 + 3 ) = 0,
C4 = 1
24 (α1 + 34α3) − 1
6 (β1 + 23β2) = 1
1 2 56
24 (−1 + 81) − 6 (− 3 + 3
Luego, el método tiene orden de convergencia p = 3.
) = 10
3
7 , 3 , 0).
− 3 = 0.