Apunte

3. EJERCICIOS 11
Como conclusión el algoritmo es malo. Pero observemos que no lo es el problema en sí mismo.
Como alternativas podemos calcular En por integración numérica o bien hacer el siguiente truco.
Observemos que
y como
1
En ≤
0
En−1 =
1 − En
n
x n dx = 1
→ 0
n + 1
podemos empezar de E20 ∼ 0 e ir hacia atrás usando En−1 = 1−En
n . Este algoritmo es estable
(el error en cada paso se multiplica por algo menor que uno).
Como conclusión, los ejemplos analizados en esta sección muestran la diferencia entre el caso
en el cual la amplificación de los errores de redondeo se debe a que el problema está “mal
condicionado” o “mal planteado” y el caso en el que dicha amplificación se debe al uso de un
“algoritmo inestable”. Es fundamental distinguir entre ambos casos y, por otra parte, encontrar
las causas de la propagación indebida de errores con el objeto de mejorar los algoritmos.
3. Ejercicios
1. Utilizando el método de redondeo:
a) Hallar el número de máquina más próximo a 125,6 y a= 126 si trabaja con
Base 10 y mantisa de 2 dígitos.
Base 2 y mantisa de 8 dígitos.
b) Verificar para x = 125,6, la conocida cota para el error relativo
| x − fl(x)
| ≤ ɛ
x
si ɛ = 1/2β 1−d donde β es la base y d la longitud de la mantisa.
c) ¿Cuál es, en cada caso, el valor que da la máquina como resultado de las operaciones
126 + 125,6 y 126 − 125,6? ¿Cuál es el error relativo de estos resultados?
2. Utilizando el método de truncamiento:
a) Rehacer el Ejercicio 1, con el ɛ correspondiente, es decir: ɛ = β −d+1 , donde β y d
son como antes.
b) Demostrar que, en este caso, ɛ es el menor número de máquina tal que 1 + ɛ = 1.
¿Cuánto da β + ɛ?
3. Mostrar que fl(x) tiene (para ambos métodos) una escritura de la forma
fl(x) = x(1 + δx)
donde |δx| ≤ ɛ. (Usar la cota para el error relativo).
4. Pérdida de dígitos significativos:
a) Si x, y ≥ 0 demostrar que
x
+ y − fl(fl(x) + fl(y))
≤ 2ɛ + ɛ
x + y
2 .