Apunte

1. INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 91
Observación 5.2. 1. La escritura (5.3) se conoce como la forma de Lagrange del polinomio
interpolador.
2. El polinomio pn puede tener grado estrictamente menor que n. Por ejemplo, si se considera
la tabla de 5 valores
(xj): -4 -2 0 1 3
(yj): 9 5 1 -1 -5
El polinomio de grado menor o igual que 4 que interpola la tabla es p4(x) = −2x + 1.
Gracias a la unicidad, como se trata de un polinomio de grado 1, es suficiente mostrar
que en cada xj, p4 toma el valor yj; esto es inmediato.
3. Si los datos corresponden con una función f que es un polinomio de grado menor o igual
que n, es decir, f ∈ Pn y los valores yj = f(xj); entonces f = pn (la interpolación es
exacta para polinomios).
4. El polinomio que interpola en n + 1 puntos distintos es único en Pn. Si se permite mayor
grado hay infinitos. Por ejemplo, si q es un polinomio cualquiera, el polinomio
p(x) = (−2x + 1) + q(x)(x + 4)(x + 2)x(x − 1)(x − 3),
también interpola la tabla dada arriba.
Otra forma de demostrar la existencia (y de encontrar el polinomio) es por el método de los
coeficientes indeterminados. El polinomio será de la forma
y se buscan a0, . . . , an tales que
pn(x) = a0 + a1x + · · · + anx n
pn(xj) = yj.
Al evaluar, queda formado un sistema (n + 1) × (n + 1)
⎛
1 x0 x
⎜
⎝
2 0 · · · xn 0
1 x1 x2 1 · · · xn ⎞ ⎛
⎟ ⎜
1 ⎟ ⎜
.
.
..
⎟ ⎜
. ⎠ ⎝
1 xn x 2 n · · · x n n
a0
a1
.
an
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
La matriz de la izquierda se llama matriz de Van der Monde y como sólo depende de los datos
{x0, . . . , xn} suele notarse por V (x0, . . . , xn).
Para ver que existe una solución (a0, . . . , an) y que es única hay que ver que la matriz V (x0, . . . , xn)
es inversible. Esto equivale a ver que el núcleo es nulo. Ahora, si (a0, . . . , an) ∈ Nu(V (x0, . . . , xn))
tendríamos
y0
y1
.
yn
⎞
⎟
⎠