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4. POLINOMIOS DE TCHEBYCHEV - MINIMIZACIÓN DEL ERROR 103
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−3 −2 −1 0 1 2 3
Figura 5.5. Interpolación de f(x) = cos(t) 3 en [−3, 3], (en los ceros de T10)
1. A partir de la fórmula del error dada en el Teorema 5.4 puede demostrarse que si f es una
función entera, es decir, admite desarrollo de Taylor convergente en todo IR, entonces
f − pn L ∞ [a,b] → 0 (n → ∞).
cualesquiera sean los puntos de interpolación.
2. No podemos asegurar convergencia uniforme, es decir, en norma infinito, si se cambia la
hipótesis f entera por f ∈ C ∞ (IR). Por ejemplo, si se eligen puntos equidistribuidos en
el intervalo [−1, 1] se sabe que el error no tiende a cero para la función de Runge
f(x) =
1
1 + 25x 2
3. El comportamiento de la interpolación en los puntos de Tchebychev es mucho mejor.
Por ejemplo, puede demostrarse que si la función f es derivable
f − pn∞ → 0 (n → ∞).
4. La interpolación en los puntos de Tchebychev no converge para cualquier función continua.
O sea, puede verse que existe f continua tal que f − pn∞ → 0. Más aún puede
demostrarse el siguiente
Teorema. (Faber) Dados puntos