Apunte

O bien,
2. MÉTODOS ITERATIVOS 49
λaiixi = −λ
Sea i tal que x∞ = |xi| ≥ |xj|, entonces
De esta forma obtuvimos
i
j=1
aijxj −
i−1
|λ||aii| ≤ |λ| |aij| +
|λ| ≤
pues A es estrictamente diagonal dominante.
j=1
N
j=i+1 |aij|
N
j=i+1
N
j=i+1
|aii| − < 1
i−1
j=1
|aij|
2.4. Matrices simétricas definidas positivas. Un caso importante es el de A simétrica
y definida positiva. En este caso veremos,
1. Jacobi no es necesariamente convergente.
2. Gauss-Seidel es convergente.
aijxj
|aij|.
Empecemos con un ejemplo. Sea a tal que 0 < a < 1 y tomemos
⎛
1
A = ⎝ a
a
1
⎞
a
a ⎠
a a 1
Esta matriz A es simétrica y definida positiva. Para ver que es definida positiva hay que ver que
los menores principales son positivos.
A1 = (1)
1 a
A2 =
det(A) = 1 − a
a 1
2 > 0
y además
det(A) = 1 + 2a 3 − 3a 2 = (a − 1) 2 (a + 1
) > 0
2
si a > −1
2
Analicemos el método de Jacobi en este caso,
BJ = −D −1 ⎛
0
(L + U) = ⎝ −a
−a
0
⎞
−a
−a ⎠ .
−a −a 0
Calculemos los autovalores de B, el polinomio característico es
⎛
λ
p(λ) = det ⎝ a
a
λ
⎞
a
a ⎠ = λ
a a λ
3 + 2a 3 − 3a 2 λ.