Apunte

22 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO
A = máx
0=x∈IRn Ax
x
Es decir, la norma de A nos da lo máximo que “agranda” el multiplicar por A medido en la
norma de vectores dada. Es fácil ver que
A = máx
x=1 Ax
y en particular, esto muestra que el máximo existe, o sea que la norma esta bien definida (Ax
es una función continua de x y por lo tanto, alcanza su máximo en el conjunto de vectores de
norma igual a uno pues éste es cerrado y acotado).
De la definición se desprende la siguiente desigualdad que usaremos frecuentemente,
Ax ≤ Ax ∀x ∈ IR n
valiendo la igualdad para algún x. También es fácil ver que
AB ≤ AB ∀A ∈ IR n×n , ∀B ∈ IR n×n
Por otra parte puede verificarse que A es la menor entre todas las constantes C para las cuales
vale la desigualdad
Ax ≤ Cx ∀x ∈ IR n
siendo ésta otra forma usual de definir la norma matricial.
Como ejemplo tenemos que, por lo visto antes, si A es simétrica entonces
A2 = |λmáx|
donde el subíndice 2 nos indica cúal es la norma de vectores correspondiente.
Análogamente tenemos que para A inversible y simétrica
y por lo tanto,
En general introducimos entonces la siguiente
A −1 2 = 1
|λmín|
A2A −1 2 = |λmáx|
|λmín|
(2.4)