Apunte

1. MÉTODO DE BISECCIÓN 67
Por otra parte el error se puede acotar de la siguiente forma. Tenemos que
entonces
Resumiendo, hemos demostrado,
xn = an−1 + bn−1
2
|r − xn| ≤ 1
2 (bn−1 − an−1) =
b − a
.
2n Teorema 4.2. Si f : [a, b] → IR es continua y f(a)f(b) < 0 entonces, el método de bisección
genera una sucesión xn tal que,
1. xn → r con f(r) = 0,
b − a
2. |r − xn| ≤ .
2n Una de las ventajas que tiene el método de bisección es que converge para cualquier f continua,
es decir no hace falta derivabilidad como en otros métodos que veremos más adelante.
Ejemplo 4.3. Calculemos √ 2.
Tomemos f(x) = x 2 − 2 y [a, b] = [1, 3]. Se tiene f(1) = −1 < 0 < f(3) = 7 y con un gráfico de
f podemos asegurar que no hay otra raíz positiva. La suecsión que produce el método es:
x1 = 2 f(x1) = 2 [a1, b1] = [1, 2]
x2 = 1,5 f(x2) = 0,25 [a2, b2] = [1, 1,5]
x3 = 1,25 f(x3) = −0,4375 [a3, b3] = [1,25, 1,5]
x4 = 1,375 f(x4) = −0,109375 [a4, b4] = [1,375, 1,5]
x5 = 1,4375 f(x5) = 0,06640625 [a5, b5] = [1,375, 1,4375]
x6 = 1,40625 f(x6) = −0,022 . . . [a6, b6] = [1,40625, 1,4375]
x7 = 1,421875 f(x7) = 0,02 . . . [a7, b7] = [1,40625, 1,421875]
x8 = 1,4140625 . . .
Para x8, vemos que la aproximación lograda tiene 4 cifras exactas. Fue necesario hacer ocho
pasos para obtener cuatro cifras exactas ( √ 2 = 1,4142 . . .).
Del análisis hecho en general sabíamos que,