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56 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES<br />
Análogamente, los autovalores λ de BGS = −(L + D) −1 U son las raíces de<br />
det(µI + (L + D) −1 U) = det((L + D) −1 (µ(L + D) + U))<br />
= det((L + D) −1 ) det(µ(L + D) + U)<br />
y como det((L + D) −1 ) = 0, λ son las raíces de<br />
det(µ(L + D) + U).<br />
Lema 3.18. Sea A ∈ IR N×N tridiagonal entonces, para todo α = 0 se tiene que<br />
det(D + L + U) = det(D + αL + α −1 U)<br />
Demostración. Basta ver que las matrices A = D + L + U y D + αL + α−1U son semejantes.<br />
Pongamos<br />
⎛<br />
d1 a1 0 · · · 0<br />
⎞<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
b2<br />
0<br />
d2<br />
b3<br />
a2<br />
d3<br />
. ..<br />
· · ·<br />
. ..<br />
. ..<br />
0<br />
.<br />
aN−1<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 . . . bN−1 dN<br />
y consideremos<br />
⎛<br />
1<br />
⎜ 0<br />
C = ⎜<br />
⎝ .<br />
0<br />
α<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
. ..<br />
0<br />
0<br />
.<br />
0 · · · αN−1 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Entonces,<br />
CAC −1 ⎛<br />
d1<br />
⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
α−1 αb2<br />
a1<br />
d2<br />
0<br />
α<br />
· · · 0<br />
−1 0 αb3<br />
a2<br />
d3<br />
. ..<br />
· · ·<br />
. ..<br />
. ..<br />
0<br />
.<br />
α−1aN−1 ⎞<br />
⎟ = D + αL + α<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 . . . αbN−1 dN<br />
−1 U<br />
Teorema 3.19. Sea A ∈ IR N×N una matriz tridiagonal y sean λ los autovalores no nulos de<br />
BGS, µ los autovalores no nulos de BJ, entonces λ y µ se relacionan de la siguiente manera<br />
En particular,<br />
λ = µ 2 .<br />
ρ(BGS) = ρ(BJ) 2 .
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