Apunte

2. SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN 127
El teorema de Weierstrass nos permite demostrar que el error entre la f y su mejor aproximación
en la norma asociada al producto interno tiende a cero cuando el grado del polinomio
aproximante tiende a infinito. Este es el objetivo del siguiente teorema.
Teorema 6.18. Si el producto interno en C[a, b] está dado por
〈f, g〉 =
b
a
f(x)g(x)w(x)dx
donde w es una función positiva e integrable en (a, b) entonces,
p ∗ n −→ f cuando n −→ ∞.
Demostración. Por el teorema de Weierstrass, dado ε > 0 existe un polinomio p ∈ Pn (n depende
de ε) tal que
Entonces
Por lo tanto,
máx
a≤x≤b |f(x) − p(x)| = f − p∞ < ε.
f − p ∗ n 2 ≤ f − p 2 = b
a w(x)(f(x) − p(x))2 dx
≤ f − p2 b
∞ a w(x) dx ≤ ε2 b
a
lím
n→∞ f − p∗n = 0.
w(x) dx.
Corolario 6.19. (Igualdad de Parseval) Para un producto interno como el del teorema
anterior se tiene,
f 2 ∞
= 〈f, pj〉 2
Demostración. Recordemos que p∗ n = n i=0 〈f, pi〉pi, y por lo tanto
p ∗ n 2 n
= 〈f, pj〉 2 .
j=0
j=0
Entonces, de la ortogonalidad entre f − p ∗ n y p ∗ n se obtiene
f 2 = f − p ∗ n 2 + p ∗ n 2 = f − p ∗ n 2 +
n
〈f, pj〉 2
pero por el teorema sabemos que el primer sumando del término de la derecha tiende a cero
cuando n tiende a infinito con lo que concluye la demostración.
j=0