Apunte

28 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO
En particular, estar “cerca” de ser singular no tiene nada que ver con el tamaño del determinante.
Para aclarar esto veamos algunos casos simples. Por ejemplo, si ε ∼ 0, la matriz
ε 0
A =
0 ε
tiene determinante muy pequeño pero es una matriz buenísima en cuanto a la propagación de
errores relativos pues Cond(A) = 1.
En cambio,
1
A =
0
0
1
ε
tiene determinante grande pero, en las normas 2, 1 o ∞, Cond(A) = 1/ε
Damos ahora el resultado que relaciona el número de condición de una matriz con su distancia
relativa a las matrices singulares.
Teorema 2.5. Dadas A ∈ IR n×n inversible y una norma de vectores cualquiera se tiene
1
= ínf
Cond(A) B singular
A − B
A
Demostración. Sea B ∈ IR n×n una matriz singular y tomemos x = 0 tal que Bx = 0. Entonces,
y en consecuencia,
lo cual muestra que
x = A −1 (A − B)x ≤ A −1 A − Bx
1 A − B
≤
Cond(A) A
1 ≤ A −1 A − B
∀B ∈ IR n×n
singular (2.9)
Entonces, para concluir el teorema, falta ver que hay una B singular para la cual vale la igualdad
en (2.9). Para esto, sean y tal que A −1 y = A −1 y y x tal que Ax = y. Como y puede
tomarse con norma arbitraria, lo elegimos de tal forma que y = 1/A −1 y en consecuencia
x = 1.
Sea ahora z un vector tal que
z T x = 1 (2.10)