Apunte

90 5. INTERPOLACI ÓN
Como x1, . . . , xn son raíces de ℓ0, ℓ0(x) = α n
i=1 (x − xi); donde α es una constante que se elige
de modo que ℓ0(x0) = 1. Imponiendo esta condición obtenemos
ℓ0(x) =
n
(x − xi)
i=1
n
.
(x0 − xi)
De manera análoga, para cada j = 1, . . . , n,, el polinomio ℓj ∈ Pn tal que
estará dado por
i=1
ℓj(xi) = δij =
1 i = j
0 i = j
(x − xi)
i=j
ℓj(x) =
(xj − xi)
i=j
Los polinomios {ℓ0, ℓ1, . . . , ℓn} se conocen como la base de Lagrange. Vale destacar que estos
polinomios sólo dependen de los datos {x0, x1, . . . , xn}.
Teorema 5.1. Dados x0,. . . ,xn y valores y0, . . . , yn existe un único polinomio pn ∈ Pn tal que
pn(xj) = yj; ∀j = 0, . . . , n.
Demostración. Usando la base de Lagrange definimos
pn(x) =
(5.2)
n
yjℓj(x). (5.3)
j=0
obteniendo un polinomio pn ∈ Pn que verifica (5.1). Veamos que es único. Supongamos que hay
dos polinomios pn, qn ∈ Pn que interpolan la tabla de pares (xi, yi), esto es
(pn − qn)(xj) = 0 ∀j = 0, . . . , n.
Entonces pn − qn es un polinomio de grado menor o igual que n con n + 1 raíces distintas; es
decir, pn − qn es el polinomio nulo.