Apunte

1. FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES 139
Por otro lado, sabemos que p(x) = a0 + a1x + a2x 2 verifica el sistema:
Por lo tanto, a0 = f(0), a1 =
Luego,
1
−1
⎛
⎝
f(x) dx ∼
1 −1 1
1 0 0
1 1 1
⎞ ⎛
⎠
f(1) − f(−1)
2
1
−1
⎝ a0
a1
a2
y a2 =
⎞
⎠ =
⎛
⎝ f(−1)
f(0)
f(1)
⎞
⎠
f(−1) − 2f(0) + f(1)
.
2
p(x) dx = 2
[f(−1) + 4f(0) + f(1)].
6
Ahora, por el Lema 7.3, se tiene para un intervalo [a, b] la fórmula de Simpson simple cerrada:
S(f) =
(b − a)
f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b) .
6
Si escribimos la fórmula en términos de la distancia entre un nodo y otro, h = b−a
2 , se tiene:
S(f) = h
f(a) + 4f(a + h) + f(b) . (7.6)
3
Ejemplo 7.4. Para la función f(x) = x 3 −4x+4 consideremos ahora el intervalo [−1, 2]. ¿Cuál
es el valor que se obtiene al aproximar la integral de f en este intervalo si se emplea la fórmula
de Simpson cerrada?
Para este intervalo tenemos, b − a = 3, luego h = 3
a+b
2 y a + h = 2
nos da
S(f) = 1
1
f(−1) + 4f(
2
2 ) + f(2) = 1
17
7 + 4
2 8
1 = 2 , entonces la fómula (7.6)
+ 4] = 39
4 .
En este caso el cálculo es exacto puesto que al calcular la integral de f en [−1, 2] obtenemos por
resultado 39
4 .
Regla de Simpson abierta: es la que se obtiene al reemplazar f por un polinomio de grado
2 que la interpola en nodos equiespaciados en el interior del intervalo [a, b]. Para ésto partimos
al intervalo [a, b] en cuartos, es decir en subintervalos de longitud h = b−a
4 . De esta manera
consideramos {x1, x2, x3} los extremos de los intervalos medios, es decir xj = a + jh para
j = 1, 2, 3; (ver Figura 7.4). Como a y b no forman parte de los nodos, esta fórmula recibe el
nombre de Simpson abierta.
Si procedemos como antes, podemos hallar el polinomio de grado 2 que interpola a una función
en el intervalo [−1, 1] y luego por el Lema 7.3 extendemos la fórmula a cualquier intervalo [a, b].
En este caso, el polinomio p(x) = a0+a1x+a2x 2 interpola a f en los nodos {− 1 1
2 , 0, 2 }. y resultan
a0 = f(0), a1 = f( 1 1
2 ) − f(− 2 ), y a2 = 2f(− 1
2 ) − 4f(0) + 2f(1 2 ).