Apunte

Entonces
I(p) =
=
b
a
b
a
4. CUADRATURA GAUSSIANA 155
p(x)w(x) dx
pn+1(x)S(x)w(x) dx +
= 〈pn+1, S〉 + I(R)
= 0 + Qn(R)
=
=
n
AjR(xj)
j=0
n
Ajp(xj) = Qn(p).
j=0
b
a
R(x)w(x) dx
Ahora supongamos que {xj} es un conjunto de puntos distintos y que se verifica
b
n
p(x)w(x) dx = Ajp(xj)
a
para todo p ∈ P2n+1. Dado r un polinomio de grado menor o igual que n y W (x) = n
j=0 (x−xj)
el producto r(x)W (x) está en P2n+1. Luego, por hipótesis I(rW ) = Qn(rW ). En consecuencia
〈r, W 〉 =
b
a
r(x)W (x)w(x) dx =
j=0
n
Ajr(xj)W (xj) = 0,
pues W (x) se anula en los xj. Entonces W (x) es un polinomio mónico de grado (n+1) que resulta
ortogonal a cualquier polinomio de grado menor o igual que n, en consecuencia W (x) = qn+1(x)
y por lo tanto los xj son los ceros de pn+1.
Observación 7.25. El resultado anterior es óptimo. Es decir, no es posible encontrar n + 1
puntos de manera que, para un peso w > 0, una regla de cuadratura de la forma
b
n
f(x)w(x) dx = Ajf(xj),
sea exacta para polinomios de grado 2n + 2.
a
j=0
j=0
En efecto, el polinomio p(x) = n j=0 (x − xj) 2 verifica que
n j=0 Ajp(xj) = 0
b
a
p(x)w(x) dx > 0 mientras que