Apunte

52 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Entonces el método de Gauss-Seidel converge.
Más adelante veremos que si A es simétrica y definida positiva entonces Gauss-Seidel converge.
En particular este ejemplo nos da un caso donde el método de Gauss-Seidel converge pero Jacobi
no, o sea ρ(BGS) < 1 y ρ(BJ) ≥ 1.
Ahora veremos un ejemplo “al revés”, es decir donde Jacobi converge pero Gauss-Seidel no.
Ejemplo 3.14. (Collatz 1942, ver Varga, pag 74). Sea
⎛
⎞
1 2 −2
A = ⎝ 1 1 1 ⎠ .
2 2 1
Para el método de Jacobi nos queda
entonces
y los autovalores resultan ser
⎛
BJ = ⎝
λI − BJ = ⎝
0 −2 2
−1 0 −1
−2 −2 0
⎛
p(λ) = λ 3
λ 2 −2
1 λ 1
2 2 λ
λ1 = λ2 = λ3 = 0
Entonces BJ es nilpotente, ρ(BJ) = 0 y el método converge en tres pasos.
e 3 = B 3 Je 0 = 0
Ahora analicemos el método de Gauss-Seidel para este ejemplo.
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1 0 0
0 −2 2
L + D = ⎝ 1 1 0 ⎠ ; −U = ⎝ 0 0 −1 ⎠ y (L + D)
2 2 1
0 0 0
−1 =
En consecuencia,
y
Los autovalores resultan ser
BGS = −(L + D) −1 U = ⎝
⎛
λI − BGS = ⎝
⎛
⎞
⎠
⎞
⎠
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
λ 2 −2
0 λ − 2 3
0 0 λ − 2
λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 2
entonces ρ(BGS) = 2 y el método de Gauss-Seidel no converge.
⎞
⎠
⎞
⎠
⎛
⎝
1 0 0
−1 1 0
0 −2 1
⎞
⎠