Apunte

188 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ahora,
tn+3
tn+1
x ′ (t) dt =
2
donde a, b corresponden al corrimiento t = as + b:
Es decir,
0
x ′ (as + b)a ds,
s = 0 → t = tn+1 = tn + h
s = 2 → t = tn+3 = tn + 3h ⇒
a = h
b = tn + h .
tn+3
tn+1
x ′ (t) dt ∼ h[ 1
3 x′ (tn) − 2
3 x′ (tn+1) + 7
3 x′ (tn+2)].
Ahora, como x ′ (tn) = f(tn, x(tn)) se aproxima por fn = f(tn, xn) y además
proponemos el método
x(tn+3) − x(tn+1) ∼ h[ 1
3 x′ (tn) − 2
3 x′ (tn+1) + 7
3 x′ (tn+2)],
xn+3 − xn+1 = h[ 1
3 fn − 2
3 fn+1 + 7
3 fn+2],
que es un método de multipaso explícito de 3 pasos.
3.1. Convergencia de los métodos multipaso. Empecemos estudiando el error de
truncamiento local para un método de k pasos. Para esto, recordemos que en los métodos de 1
paso de la forma
xi+1 = xi + hΦ(ti, xi, h),
el error local es τ definido por medio de la expresión
x(t + h) − x(t) − hΦ(t, x(t), h) = hτ,
donde x es la solución exacta del problema x ′ (t) = f(t, x(t)). Sabemos que el método resulta
convergente cuando τ tiende a cero. Aplicando la misma idea para un método de k pasos de la
forma
k
k
αjxn+j = h
j=0
j=0
βjfn+j
teniendo en cuenta que x ′ = f, definimos τ, el error de truncamiento local, de la siguiente manera
k
αjx(t + jh) − h
j=0
k
βjx ′ (t + jh) = hτ. (8.24)
j=0