Apunte

6. EJERCICIOS 165
a) Probar que, cualquiera sea w, la fórmula tiene grado de precisión máximo si s =
b
a xw(x) dx
.
b
a w(x) dx
b) Probar que si w(x) ≡ 1, esta regla coincide con la regla de los rectángulos.
c) Considerar el intervalo [−1, 1] y w(x) = (x − 1) 2 . Acotar el error que produce el uso
de esta regla para funciones C1 .
19. Hallar los pesos y los nodos de las fórmulas de Gauss-Legendre de dos y tres puntos.
(Los polinomios de Legendre mónicos de grado dos y tres son x2 − 1
3 y x3 − 3
5x). 20. Usar las fórmulas de Gauss-Legendre de tres puntos para estimar:
(a)
1
−1
sen(3x) dx, (b)
21. Probar que una fórmula de cuadratura
b
a
3
f(x)w(x) dx ∼ Qn(f) =
1
ln(x) dx, (c)
n
Ajf(xj)
no puede tener grado de precisión mayor que 2n + 1, independientemente de la elección
de los coeficientes (Aj) y de los nodos (xj).
Sugerencia: Hallar un polinomio p ∈ P2n+2 para el cual Qn(p) =
j=0
2
1
e x2
b
a
dx.
p(x)w(x) dx.
22. Para f : IR2 → IR una función continua, se quiere dar una fórmula de cuadratura que
aproxime f(x, y) dx dy con D ⊂ IR2 usando el Teorema de Fubini.
D
a) Repetir el procedimiento hecho en el Ejemplo 7.22 y dar la fórmula correspondiente
para D el triángulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0).
Sugerencia: considerar F (x) =
x
0
f(x, y) dy.
b) Probar que si D es el triángulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0) la fórmula anterior es
exacta para f(x, y) = x 2 + y 2 .