Apunte

Capítulo 2
Normas y condicionamiento de una matriz
Consideramos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas
Ax = b
con A ∈ IR n×n , x ∈ IR n y b ∈ IR n y nos preguntamos cuánto afectará a la solución un error
en el dato b. Para poder dar una respuesta debemos decidir primero cómo medir el error. Es
decir, necesitamos dar alguna forma de medir vectores de IR n . Una forma posible es utilizar la
longitud o norma euclídea del vector, o sea,
x2 =
x 2 1 + · · · + x2 n
Pero ésta no es la única medida razonable y en muchos casos es conveniente trabajar con otras.
Por ejemplo, podemos decir que un vector es “chico” si lo son todas sus componentes y tomar
entonces como medida de x la siguiente, llamada “norma infinito”,
Otra elección natural es la “norma uno”,
o más en general la “norma p”,
con 1 ≤ p < ∞.
x∞ = máx
1≤i≤n |xi|
x1 = |x1| + · · · + |xn|
xp = (|x1| p + · · · + |xn| p ) 1
p
Todas estas formas de medir resultan equivalentes en el sentido de que, si x es “chico” en una
de las normas entonces lo es en cualquier otra, puesto que una norma es mayor que la otra salvo
una constante que depende sólo de n. Por ejemplo, utilizando la desigualdad de Schwartz se
obtiene
y por otra parte, es fácil ver que,
x1 ≤ √ nx2