Apunte

154 7. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
que resulta, nuevamente, una contradicción. En consecuencia todos lo ceros de pn son simples.
Finalmente, resta ver que todas las raíces de pn pertenecen al intervalo (a, b).
Supongamos que x0, . . . , xk son los ceros de pn que están en (a, b) y supongamos que k < n − 1,
es decir que pn tiene ceros que no pertenecen a (a, b). Como las raíces x0, . . . , xk son simples el
polinomio r dado por
r(x) = pn(x)/(x − x0)(x − x1) . . . (x − xk).
tiene grado n−(k+1), con lo cual es ortogonal a pn y tiene signo constante en (a, b). Supongamos
que r(x) > 0.
0 = 〈pn, (x − x0) . . . (x − xk)〉 =
=
b
a b
a
pn(x)(x − x0) . . . (x − xk)w(x) dx
r(x)(x − x0) 2 . . . (x − xk) 2 (x)w(x) dx > 0,
Esta contradicción proviene de suponer que el grado de r es no nulo, luego k = n − 1 y todos lo
ceros de pn están en (a, b).
Ahora probemos el teorema básico de las cuadraturas de Gauss.
Teorema 7.24. La fórmula
b
a
p(x)w(x) dx =
n
Ajp(xj),
vale para cualquier polinomio de grado menor o igual a 2n + 1 si y solo si los puntos {xj} son
los ceros de pn+1(x).
Demostración. Sea p(x) ∈ P2n+1 y supongamos que los puntos xj están dados por
j=0
pn+1(xj) = 0 0 ≤ j ≤ n.
Por el algoritmo de división para polinomios se puede escribir
con S(x) y R(x) en Pn(x).
p(x) = pn+1(x)S(x) + R(x)
Por la definición de los pesos Aj, como el grado de R es a lo sumo n, tenemos
I(R) = Qn(R).