Apunte

118 6. POLINOMIOS ORTOGONALES Y APROXIMACIÓN POR CUADRADOS MÍNIMOS
En los espacios vectoriales con producto interno se tiene la norma inducida por dicho producto:
x = 〈x, x〉 1
2 , para todo x ∈ V.
No es inmediato ver que con esta definición se obtiene efectivamente una norma. Esto es posible
gracias a la siguiente desigualdad.
Proposición 6.4. (Desigualdad de Cauchy - Schwarz) Si 〈., .〉 es un producto interno sobre
un espacio vectorial V , entonces
para todo x, y ∈ V.
|〈x, y〉| ≤ 〈x, x〉 1
2 〈y, y〉 1
2
Demostración. Sean x, y ∈ V dos vectores fijos. Si 〈y, y〉 = 0, no hay nada que probar. Supongamos
entonces que 〈y, y〉 = 0.
Para cada t ∈ IR consideramos x − ty, entonces
0 ≤ 〈x − ty, x − ty〉
= 〈x, x〉 − t〈x, y〉 − t〈y, x〉 + t 2 〈y, y〉
= 〈x, x〉 − 2t〈x, y〉 + t 2 〈y, y〉
= c − 2bt + at 2 = p(t).
De esta manera se obtiene una función cuadrática donde a = 〈y, y〉, b = 〈x, y〉 y c = 〈x, x〉.
Como p(t) ≥ 0 para todo t ∈ IR, esta cuadrática tiene a lo sumo una raíz real y por lo tanto
4b 2 − 4ac ≤ 0. Luego,
de donde se sigue el resultado.
0 ≥ b 2 − ac = 〈x, y〉 2 − 〈x, x〉〈y, y〉
Corolario 6.5. Si 〈., .〉 es un producto interno sobre un espacio vectorial V , entonces
define una norma sobre V .
x = 〈x, x〉 1
2
Demostración. La única dificultad está en probar la desigualdad triangular, para eso notemos
que dados x, y ∈ V se tiene,
x + y 2 = 〈x + y, x + y〉
= x 2 + 2〈x, y〉 + y 2 .
Usando la desigualdad de Cauchy - Schwarz vale, 〈x, y〉 ≤ |〈x, y〉| ≤ xy. Luego,
x + y 2 ≤ x 2 + 2xy + y 2
= (x + y) 2