Apunte

cuando n → ∞.
6. INTERPOLACIÓN POR POLINOMIOS A TROZOS 107
f − qn∞ ≤ f ′′ ∞
2
h2 4 = f ′′ ∞ (b − a)
8
2
n2 → 0
1
Ejemplo 5.18. Sea f : [−1, 1] → IR, la función de Runge f(x) = . Puede verse que
1 + 25x2 f ′′ ∞ = 50. En consecuencia, aproximando por poligonales obtenemos
f − qn∞ ≤ f ′′ ∞
8
2 2
n
= 25
.
n2 Luego, en este caso, interpolando por poligonales obtenemos una aproximación mucho mejor
que la que se obtiene interpolando con un polinomio, si se utilizan los mismos puntos.
Splines cúbicos.
En muchos problemas interesa aproximar por funciones derivables. Esto no puede lograrse aproximando
por poligonales y por lo tanto es necesario aumentar el grado de los aproximantes. Un
método clásico es el correspondiente a grado tres, splines cúbicos. Vamos a ver que, de esta
manera, puede obtenerse un aproximante C 2 .
Dada f ∈ C[a, b] y a = x0 < x1 < x2 . . . < xn = b buscamos S tal que S, S ′ y S ′′ sean continuas
en [a, b] y además se verifique
S(xj) = f(xj) para 0 ≤ j ≤ n y S | [xj,xj+1]∈ P3.
Por ejemplo si n = 3, como Sj ∈ P3 tenemos 4 × 3 = 12 coeficientes a determinar. Veamos
cuántas condiciones se tienen que satisfacer. Tenemos que verificar,
S0(x0) = f(x0), S1(x1) = f(x1), S2(x2) = f(x2),
S0(x1) = S1(x1), S1(x2) = S1(x2), S2(x3) = f(x3).
es decir, seis condiciones. Si además queremos S ′ y S ′′ continuas en x1, x2 tenemos cuatro
condiciones más. O sea, en total diez condiciones para doce incógnitas. Una cuenta análoga
puede hacerse en el caso general para ver que la cantidad de coeficientes a determinar supera en
dos al número de condiciones.
Luego, si hay solución habrá infinitas pues tenemos dos coeficientes para fijar arbitrariamente.
Lo natural entonces es fijar S ′ (x0) y S ′ (xn) o bien S ′′ (x0) y S ′′ (xn). Elegiremos esta última
opción por ser más simple.